极限 速查表
\mathrm{若\:f(x)\:和\:g(x)\:的极限存在，则以下适用:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0
\mathrm{对于}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{以下适用:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n为偶数} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n为奇数} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0
0^{0}
\infty^{0}
\frac{\infty}{\infty}
\frac{0}{0}
0\cdot\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k
\lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e
常数极限
\lim_{x\to{a}}{c}=c
基本极限
\lim_{x\to{a}}{x}=a
夹挤定理
\mathrm{让\:f,\:g\:和\:h\:为特定函数并符合对于所有}\:x\in[a,b]\:\mathrm{(C点可无定议),}
f(x)\le{h(x)}\le{g(x)}
\mathrm{也假设,\:}\lim_{x\to{c}}{f(x)}=\lim_{x\to{c}}{g(x)}=L
\mathrm{则对于所有\:}a\le{c}\le{b},\:\lim_{x\to{c}}{h(x)}=L
洛必达法则
\mathrm{对于}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{若}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{或}\:\lim_{x\to\:a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},\:\mathrm{则}
{\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)})}
发散条件
\mathrm{若存在两序列,\:}
\left{x_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:和\:}\left{y_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:而\:}
x_n\ne{c}\mathrm{\:和\:}y_n\ne{c}
\lim{x_n}=\lim{y_n}=c
\lim{f(x_n)}\ne\lim{f(y_n)}
\mathrm{则\:}\lim_{x\to\:c}f(x)\mathrm{\:不存在}
极限链式法则
\mathrm{如果}\:\lim_{u\:\to\:b}\:f(u)=L,\:\lim_{x\:\to\:a}g(x)=b,\:\mathrm{且}\:f(x)\:\mathrm{在}\:x=b\:\mathrm{处连续}
\mathrm{则:}\:\lim_{x\:\to\:a}\:f(g(x))=L
代数
